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첫째
This shows that the traditional role of fathers being breadwinners is still alive.
에서 the traditional role of fathers being breadwinners 는 the traditional role of fathers is breadwinners 가  뒤(is still ~)의 주어로 사용하기위해 동명사로 만든 것이 being이고 그 being의 실질적 주어인 the traditional role of fathers 을 being앞에 써준 것입니다 .
이것은 아버지의 전통적인 역할이 빵을 얻는 것(돈버는 일)이라는 것이 여전히 살아있다는 것을 보여준다.

-<뼈에 사무치는 영어문법>개정판257p 맨아래 cf)참고

둘째)
I am being lazy 에서도 being이 왜 쓰인 거에요?
보통 게으르다(be lazy)는 상태를 나타내는 말로 진행형을 쓸 수 없지만 상태가 움직이는 듯한 상황 - 상태의 동적상황-을 표현할 수 있습니다.

>I am lazy가 그냥 게으르다는 말임에 비해 I am being lazy는 나는 점점 (요즈음)게을러 가고 있어 정도의 차이입니다.
<뼈에 사무치는 영어문법> 개정판 79쪽
현재진행형 참조


세째

>The boy stood watching TV in the room.는
The boy stood와 The boy was  watching TV in the room두문장이 합해진 문장으로 주어 The boy가 같아서 The boy와 없어도 의미파악하는데 문제없는 be동사 was를 생략하여 한문장으로 연결한 문장입니다.

마찬가지로
>The girl sat drawing something on the ground.도

>The girl sat과  The girl was drawing something on the ground.가 합해진 문장입니다.